Планиметрия. Геометрия на плоскости.  Никулин А.В., Кукуш А.Г., Татаренко Ю.С.

ОГЛАВЛЕНИЕ

  От издательства     .............................................. 11

 Предисловие              ....................................... 13

 Г л а в а 1. Основные понятия

§ 1.1.        Расположение точек и прямых. Лучи..  15

§ 1.2.         Измерение отрезков и углов  . .        22

§ 1.3.        Отображения, движения и

                   наложения. Равные фигуры  ...       23
§ 1.4.        Аксиомы движений и наложений. Биссектриса угла..  25

§ 1.5.         Примеры с решениями.................         28

§ 1.6.         Задачи для самостоятельного

решения...........................................         32

 Г л а в а 2. Треугольники

§ 2.1.       Треугольник и его элементы . .                   35
§ 2.2.        Два признака равенства

треугольников................................ ....... 38

§ 2.3.         Примеры с решениями                       40

§ 2.4.         Задачи для самостоятельного

решения                                             42

Г л а в а 3. Параллельные и перпендикулярные прямые

§ 3.1.         Смежные и вертикальные углы           43

§ 3.2.        Аксиома параллельных.................... ..... 45

§ 3.3.         Свойства параллельных прямых         46

§ 3.4.         Сумма углов треугольника  ....             49

§ 3.5.        Выпуклые многоугольники.

Сумма углов выпуклых много­
угольников  ....................................        51

§ 3.6.         Существование и единствен­
ность перпендикуляра к прямой         53

§ 3.7.        Расстояние между параллель­
ными прямыми...............................        54

§ 3.8.        Примеры с решениями.................         55

§ 3.9.       Задачи для самостоятельного

решения...........................................        61

Г л а в а 4. Виды треугольников

§ 4.1.        Медиана, биссектриса и высота

треугольника..................................         65

§ 4.2.        Равнобедренный треугольник  .        67
§ 4.3.        Третий признак равенства треугольников  .....        69

§ 4.4.        Признаки равенства прямо­
угольных треугольников................       71

§ 4.5.        Сравнение сторон и углов треугольника  .......        76

§ 4.6.       Перпендикуляр и наклонная . . 77

§ 4.7.        Неравенство треугольника  ....       79

§ 4.8.         Примеры с решениями.................         80

§ 4.9.        Задачи для самостоятельного

решения...........................................        87

Г л а в а 5. Движения на плоскости

§ 5.1.        Основные виды движений ....                     90
§ 5.2.        Свойства движений. Группа

движений на плоскости................         98

§ 5.3.        Движения и наложения..................       101

§ 5.4.        Теорема Шаля о структуре

группы движений......................... ...... 105

§ 5.5.        Примеры с решениями.................. ....... 108

§ 5.6.        Задачи для самостоятельного

решения...........................................        116

Г л а в а 6. Окружность и описанные много­угольники

§ 6.1.        Окружность и круг. Касатель­
ная к окружности............................      119

§ 6.2.         Свойство биссектрисы угла  ...      120

§6.3.        Окружность, вписанная в

многоугольник................................       122

§ 6.4.        Углы, связанные с окружностью     125

§ 6.5.        Окружности, касающиеся друг друга..................      132

§ 6.6.        Примеры с решениями..................        135

§ 6.7.        Задачи для самостоятельного

решения...........................................       142

Г л а в а 7. Вписанные многоугольники

§ 7.1.        Серединный перпендикуляр к

отрезку..............................................      145

§ 7.2.        Окружность, описанная около

многоугольника.............................        146

§ 7.3.        Вневписанная окружность  ....     151

§ 7.4.         Примеры с решениями.................        152

§ 7.5.        Задачи для самостоятельного

решения...........................................       160

Г л а в а 8. Четырехугольники

§ 8.1.       Параллелограмм................................        164

§ 8.2.       Прямоугольник.................................. ...... 166

§ 8.3.       Ромб и квадрат..................................        168

§ 8.4.       Трапеция..........................................         170

§ 8.5.       Примеры с решениями................... ....... 177

§ 8.6.       Задачи для самостоятельного

решения...........................................        183

Г л а в а 9. Группы симметрии фигур

§ 9.1.        Группа симметрии фигуры  ......... 186
§ 9.2.        Группы симметрии треугольника  .................... ..... 188

§ 9.3.        Группа симметрии четырехугольника .............. .... 192

§ 9.4.         Группа симметрии круга                   194

§ 9.5.         Магические треугольники и квадраты.................     196

§ 9.6.         Примеры с решениями................. ..... 199

§ 9.7.         Задачи для самостоятельного

решения...........................................       204

Г л а в а 10. Пропорциональность отрезков и

подобие фигур

§ 10.1.      Теорема Фалеса...............................       206

§ 10.2.      Средние линии треугольника и

трапеции........................................        207

§ 10.3.      Гомотетия. Преобразование

подобия..........................................       209

§ 10.4.      Примеры с решениями..................       213

§ 10.5.      Задачи для самостоятельного

решения...........................................      219

Г л а в а 11. Свойства подобных фигур

§ 11.1.      Признаки подобия треугольников  ...................       222

§ 11.2.      Метрические соотношения в
прямоугольном треугольнике.
Теорема Пифагора..........................      225

§ 11.3.      Окружность, описанная около

                     прямоугольного треугольника .      226

§ 11.4.      Окружность, вписанная в прямоугольный

                    треугольник . .      227

§ 11.5.      Метрические соотношения в

окружности....................................       228

§11.6.      Свойство медиан треугольника       230

§ 11.7.      Метрические соотношения в

правильном треугольнике..............     231

§ 11.8.      Параллельные отрезки в трапеции  ..................      232

§ 11.9.      Теорема Птолемея...........................       236

§ 11.10.     Примеры с решениями                      237

§ 11.11.     Задачи для самостоятельного

решения...........................................      246

Г л а в а 12. Векторы

§ 12.1.      Декартовы координаты.................. .... 251

§ 12.2.       Координаты середины отрезка.... 253
§ 12.3.      Расстояние между двумя точками  ................. .... 254

§ 12.4.       Понятие вектора............................ .... 256

§ 12.5.      Действия над векторами............... .... 259

§ 12.6.      Разложение вектора по базису....... 265
§ 12.7.      Векторы в прямоугольной сис­
                 теме координат..................................................     269

§ 12.8.      Скалярное произведение векторов................. .... 270

§ 12.9.      Свойства скалярного произведения  .............. .... 273

§ 12.10.     Применение векторов................... .... 278

§ 12.11.     Примеры с решениями.................      283

§ 12.12.    Задачи для самостоятельного

решения........................................... .... 319

Г л а в а 13. Прямая и окружность в декартовых

координатах

§ 13.1.      Уравнение прямой.......................... .... 302

§ 13.2.      Углы между прямыми...................       307

§ 13.3.      Расстояние от точки до прямой         309

§ 13.4.      Уравнение окружности.................      310

§ 13.5.      Примеры с решениями.................. .... 311

§ 13.6.      Задачи для самостоятельного

решения...........................................     319

Глава 14. Метрические соотношения в

треугольниках

§ 14.1.      Теорема косинусов........................... ... 323

§ 14.2.      Теорема синусов............................. .... 327

§ 14.3.      Свойства биссектрисы угла

треугольника.................................. .... 330

§ 14.4.       Примеры с решениями.................      335

§ 14.5.      Задачи для самостоятельного

решения........................................... ... 349

Г л а в а 15. Площади

§ 15.1.      Площадь прямоугольника............... .. 352

§ 15.2. Площадь параллелограмма ....                355
§ 15.3.      Площадь треугольника.

Формула Герона..............................     356

§ 15.4.      Другие формулы площади треугольника  .........     360

§ 15.5.      Площадь трапеции.......................... ... 363

§ 15.6.      Площадь четырехугольника. . . .        365

§ 15.7.      Площади подобных фигур  ....           368

§ 15.8.      Ортоцентрический треугольник        369

§ 15.9.       Примеры с решениями.................      374

§ 15.10.     Задачи для самостоятельного

решения........................................... ... 393

Г л а в а 16. Геометрия масс

§ 16.1.       Центр масс системы материаль­
ных точек........................................      398

§ 16.2.      Центр масс треугольника.

Теорема Чевы..................................      401

§ 16.3.     Применения теоремы Чевы . . . 403

§ 16.4.     Тождества Лагранжа и Якоби . 406

§ 16.5.      Прямая Эйлера и окружность Эйлера..............       409

§ 16.6.      Расстояния между замечательными точками

                 треугольника  ..      411

§ 16.7.       Примеры с решениями.................        415

§ 16.8.      Задачи для самостоятельного

решения...........................................       421

Г л а в а 17. Правильные многоугольники

§ 17.1.      Свойства правильных много­
угольников  ....................................       425

§ 17.2.      Построение правильных

П -угольников циркулем и ли­
нейкой  ...........................................       432

§ 17.3.      Подобие правильных много­
угольников  ....................................       436

§ 17.4.       Примеры с решениями.................        437

§ 17.5.      Задачи для самостоятельного

решения...........................................       446

Г л а в а 18. Длина окружности и площадь круга

§ 18.1.      Длина окружности............................     448

§ 18.2.       Радианная мера дуги и угла  . .           451

§ 18.3.      Площадь круга и его частей  . .           452

§ 18.4.      Примеры с решениями..................       456

§ 18.5.      Задачи для самостоятельного

решения...........................................      466

Глава 19. Полярные координаты и золотое

сечение

§ 19.1.      Полярные координаты....................     469

§ 19.2.       Связь полярных координат с

                  декартовыми координатами  ...................... 471
§ 19.3.      Уравнение окружности в поляр­
                   ных координатах..............................................      472

§ 19.4.      Уравнение прямой в полярных

координатах....................................     478

§ 19.5.       Спираль Архимеда.........................     481

§ 19.6.      Логарифмическая спираль  ....            484

§ 19.7.      Золотое сечение............................... ... 490

§ 19.8.      Золотое сечение и спирали  . . .          496

§ 19.9.      Примеры с решениями.................. .... 503

§ 19.10.     Задачи для самостоятельного

решения...........................................     513

Г л а в а 20. Задачи по всему курсу планиметрии

§ 20.1.      Примеры с решениями..................        514

§ 20.2.      Задачи для самостоятельного

решения...........................................      526