Правообладателям
Курс чистой математики. Г.Х. Харди.
 |
2-е, стереотипное, издание этой книги вышло в 2006году, его обложка выглядит уже так: |
 |
Пер. с англ. - М.: Изд-во Иностранной литературы, 1949 - 512с.
Книга выдающегося английского математика, профессора Кембриджского университета Годфри Гарольда Харди (1877--1947) содержит основные положения математического анализа, разобранные с исчерпывающей полнотой и всей необходимой математической строгостью. В нее также включено большое количество интересных задач и примеров, представляющих собой хороший материал для самостоятельной проработки важнейших положений анализа.
Рекомендуется математикам -- преподавателям математического анализа и студентам первых курсов естественных вузов.
Формат: djvu / zip
Размер: 5,6 Мб
Скачать / Download файл
Из предисловия автора к первому изданию
Эта книга написана в первую очередь для студентов первых курсов университетов, способности которых приближаются к тому уровню, который обычно требуется для получения стипендии. Я надеюсь, что она окажется полезной и для другого круга читателей, но в основном я учитывал интересы именно этого круга. Во всяком случае эта книга написана для математиков; я нигде не пытался идти навстречу студентам технических специальностей, и вообще не принимал во внимание запросов тех читателей, чьи интересы не являются в первую очередь математическими.
Я рассматриваю эту книгу как
действительно элементарную. В ней содержится много трудных примеров
(преимущественно в конце глав); такие примеры я снабжал, где это было возможно с
точки зрения объема, указаниями к решению. Но я всячески старался избегать
действительно трудных понятий. Например, равномерная сходимость, двойные ряды,
бесконечные произведения даже не упоминаются в этой книге; я не доказываю
никаких общих теорем относительно перестановки предельных переходов. В последних
двух главах иногда интегрируется степенной ряд, но я ограничиваюсь только
простейшими случаями и для каждого из них провожу специальное исследование.
Сентябрь 1908 г.
Предисловие автора к седьмому изданию
В этом издании книга подверглась самым серьезным изменениям со времени второго издания. Я воспользовался тем, что книга заново набиралась, и это дало мне возможность свободно изменять ее содержание.
Бывшее Приложение II (относительно обозначений "О, о и tilde") я включил в соответствующих местах в текст книги. Заново написаны части глав VI и VII, относящиеся к элементарным свойствам производных. Здесь я следую курсу де ла Валле-Пуссена; эта часть книги несомненно значительно улучшена. Эти важные изменения повлекли за собой, конечно, много других более мелких исправлений.
Я включил большое число новых примеров из числа задач, предлагавшихся на экзаменах в Кэмбридже за последние 20 лет, которые будут полезны кэмбриджским студентам. Эти задачи были подобраны для меня Лявом (E.R.Love), который прочел также все гранки и исправил много ошибок.
Общий план книги остался без
изменений. Внимательно перечитывая книгу впервые за 20 лет, я неоднократно
испытывал желание произвести в ней более радикальные изменения как в содержании,
так и в стиле. Она была написана в то время, когда в Кэмбридже пренебрегали
математическим анализом, и ее патетический стиль кажется теперь немного смешным.
Если бы я переписал ее теперь, то я бы уже не писал (по выражению проф.
Литтльвуда) как "проповедник, разговаривающий с каннибалами", а значительно суше
и с соответствующей сдержанностью. Более того, я писал бы гораздо короче и смог
бы включить значительно больше материала. Книга приняла бы характер обычного
курса анализа.
Для такого начинания я не располагаю достаточным временем, и возможно, что это к
лучшему, так как, вероятно, я написал бы значительно лучшую, но гораздо менее
оригинальную книгу. Эта книга была бы не так полезна в качестве введения к
руководствам по анализу, в которых теперь даже в Англии нет недостатка.
Ноябрь 1937 г.
СОДЕРЖАНИЕ
|
Из предисловия автора к первому изданию |
|||
|
Предисловие автора к седьмому изданию |
|||
|
Предисловие автора к девятому изданию |
|||
|
ГЛАВА I. |
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ |
||
|
1-2 |
Рациональные числа |
||
|
3-7 |
Иррациональные числа |
||
|
8 |
Действительные числа |
||
|
9 |
Соотношения величины между действительными числами |
||
|
10-11 |
Алгебраические действия над действительными числами |
||
|
12 |
Число sqrt(2) |
||
|
13-14 |
Квадратичные иррациональности |
||
|
15 |
Континуум |
||
|
16 |
Непрерывное действительное переменное |
||
|
17 |
Сечения в области действительных чисел. Теорема Дедекинда |
||
|
18 |
Точки накопления |
||
|
19 |
Теорема Вейерштрасса |
||
|
Разные примеры |
|||
|
ГЛАВА II. |
ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО |
||
|
20 |
Понятие функции |
||
|
21 |
Графическое представление функций. Координаты |
||
|
22 |
Полярные координаты |
||
|
23 |
Полиномы |
||
|
24-25 |
Дробно-рациональные функции |
||
|
26-27 |
Алгебраические функции |
||
|
28-29 |
Трансцендентные функции |
||
|
30 |
Графическое решение уравнений |
||
|
31 |
Функции от двух переменных и их графическое представление |
||
|
32 |
Кривые на плоскости |
||
|
33 |
Геометрические места в пространстве |
||
|
Разные примеры |
|||
|
ГЛАВА III. |
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА |
||
|
34-38 |
Смещения |
||
|
39-42 |
Комплексные числа |
||
|
43 |
Квадратное уравнение с действительными коэффициентами |
||
|
44 |
Диаграмма Аргана |
||
|
45 |
Теорема Муавра |
||
|
46 |
Рациональные функции комплексного переменного |
||
|
47-49 |
Корни из комплексных чисел |
||
|
Разные примеры |
|||
|
ГЛАВА IV. |
ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО АРГУМЕНТА |
||
|
50 |
Функции целочисленного положительного аргумента |
||
|
51 |
Интерполяция |
||
|
52 |
Конечные и бесконечные классы |
||
|
53-57 |
Свойства, которыми обладают функции от n для больших значений n |
||
|
58-61 |
Определение предела и другие определения |
||
|
62 |
Колеблющиеся функции |
||
|
63-68 |
Общие теоремы о пределах |
||
|
69-70 |
Монотонно возрастающие или убывающие функции |
||
|
71 |
Другое доказательство теоремы Вейерштрасса |
||
|
72 |
Предел xn |
||
|
73 |
Предел (1 + 1/n)n |
||
|
74 |
Некоторые алгебраические леммы |
||
|
75 |
Предел n(sqrtnx - 1) |
||
|
76-77 |
Бесконечные ряды |
||
|
78 |
Бесконечная геометрическая прогрессия |
||
|
79 |
Представление функций от непрерывного действительного переменного с помощью пределов |
||
|
80 |
Грани ограниченной совокупности |
||
|
81 |
Грани ограниченной функции |
||
|
82 |
Верхний и нижний пределы ограниченной функции |
||
|
83-84 |
Общий признак сходимости |
||
|
85-86 |
Пределы комплексно-значных функций и ряды с комплексными членами |
||
|
87-88 |
Приложения к zn и к геометрической прогрессии |
||
|
89 |
Символы О, о, tilde |
||
|
Разные примеры |
|||
|
ГЛАВА V. |
ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНЭГО ПЕРЕМЕННОГО. НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ |
||
|
90-92 |
Пределы при x --> oo или x --> --oo |
||
|
93-97 |
Пределы при x --> a |
||
|
98 |
Символы О и о, tilde: порядки малости и роста |
||
|
99-100 |
Непрерывные функции действительного переменного |
||
|
101-105 |
Свойства непрерывных функций. Ограниченные функции. Колебание функции в интервале |
||
|
106-107 |
Системы интервалов на прямой. Теорема Гейне -- Бореля |
||
|
108 |
Непрерывные функции нескольких переменных |
||
|
109-110 |
Неявные и обратные функции |
||
|
Разные примеры |
|||
|
ГЛАВА VI. |
ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ |
||
|
111-113 |
Производные |
||
|
114 |
Общие правила дифференцирования |
||
|
115 |
Производные комплексно-значных функций |
||
|
116 |
Обозначения дифференциального исчисления |
||
|
117 |
Дифференцирование многочленов |
||
|
118 |
Дифференцирование дробно-рациональных функций |
||
|
119 |
Дифференцирование алгебраических функций |
||
|
120 |
Дифференцирование трансцендентных функций |
||
|
121 |
Повторное дифференцирование |
||
|
122 |
Общие теоремы о производных. Теорема Ролля |
||
|
123-125 |
Максимумы и минимумы |
||
|
126-127 |
Теорема о среднем значении |
||
|
128 |
Теорема Коши о среднем значении |
||
|
129 |
Теорема Дарбу |
||
|
130-131 |
Интегрирование. Логарифмическая функция |
||
|
132 |
Интегрирование многочленов |
||
|
133-134 |
Интегрирование дробно-рациональных функций |
||
|
135-142 |
Интегрирование алгебраических функций. Интегрирование рационализацией. Интегрирование по частям |
||
|
143-147 |
Интегрирование трансцендентных функций v |
||
|
148 |
Площади фигур, ограниченных плоскими кривыми |
||
|
149 |
Длины плоских кривых |
||
|
Разные примеры |
|||
|
ГЛАВА VII. |
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |
||
|
150-151 |
Теорема Тейлора |
||
|
152 |
Ряд Тейлора |
||
|
153 |
Приложения теоремы Тейлора к теории максимумов и минимумов |
||
|
154 |
Вычисление некоторых пределов |
||
|
155 |
Касание плоских кривых |
||
|
156-158 |
Дифференцирование функций нескольких переменных |
||
|
159 |
Теорема о среднем для функций двух переменных |
||
|
160 |
Дифференциалы |
||
|
161-162 |
Определенные интегралы |
||
|
163 |
Тригонометрические функции |
||
|
164 |
Вычисление определенного интеграла как предела суммы |
||
|
165 |
Общие свойства определенного интеграла |
||
|
166 |
Интегрирование по частям и подстановкой |
||
|
167 |
Другое доказательство теоремы Тейлора |
||
|
168 |
Приложение к биномиальному ряду |
||
|
169 |
Приближенные формулы для определенных интегралов. Правило Симпсона |
||
|
170 |
Интегралы от комплексно-значных функций |
||
|
Разные примеры |
|||
|
ГЛАВА VIII. |
СХОДИМОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ |
||
|
171-174 |
Ряды с положительными членами. Признаки сходимости Коши и Даламбера |
||
|
175 |
Признаки, основанные на отношениях следующих друг за другом членов |
||
|
176 |
Теорема Дирихле |
||
|
177 |
Умножение рядов с положительными членами |
||
|
178-180 |
Дальнейшие признаки сходимости. Теорема Абеля. Интегральный признак Маклорена |
||
|
181 |
Ряды sum n--s |
||
|
182 |
Признак сгущения Коши |
||
|
183 |
Дальнейшие признаки, основанные на отношениях |
||
|
184-189 |
Несобственные интегралы |
||
|
190 |
Ряды, содержащие положительные и отрицательные члены. |
||
|
191-192 |
Абсолютно сходящиеся ряды |
||
|
193-194 |
Условно сходящиеся ряды |
||
|
195 |
Знакочередующиеся ряды |
||
|
196 |
Признаки сходимости Абеля и Дирихле |
||
|
197 |
Ряды с комплексными членами |
||
|
198-201 |
Степенные ряды |
||
|
202 |
Умножение рядов |
||
|
203 |
Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы |
||
|
Разные примеры |
|||
|
ГЛАВА IX. |
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО |
||
|
204-205 |
Логарифмическая функция |
||
|
206 |
Функциональное уравнение для ln x |
||
|
207-209 |
Поведение ln x при x стремящемся к бесконечности или к нулю |
||
|
210 |
Логарифмическая шкала порядков роста |
||
|
211 |
Число e |
||
|
212-213 |
Показательная функция |
||
|
214 |
Общая показательная функция ax |
||
|
215 |
Представление ex в виде предела |
||
|
216 |
Представление ln x в виде предела |
||
|
217 |
Обыкновенные логарифмы |
||
|
218 |
Логарифмические признаки сходимости |
||
|
219 |
Экспоненциальный ряд |
||
|
220 |
Логарифмический ряд |
||
|
221 |
Ряд для arc tg x |
||
|
222 |
Биномиальный ряд |
||
|
223 |
Другой способ развития теории показательной и логарифмической функций |
||
|
224-226 |
Аналитическая теория тригонометрических функций |
||
|
Разные примеры |
|||
|
ГЛАВА X. |
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ, ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ |
||
|
227-228 |
Функции комплексного переменного |
||
|
229 |
Криволинейные интегралы |
||
|
230 |
Определение логарифмической функции |
||
|
231 |
Значения логарифмической функции |
||
|
232-234 |
Показательная функция |
||
|
235-236 |
Общая показательная функция а |
||
|
237-240 |
Тригонометрические и гиперболические функции |
||
|
241 |
Связь между логарифмической и обратными тригонометрическими функциями |
||
|
242 |
Экспоненциальный ряд |
||
|
243 |
Ряды для cos z и sin z |
||
|
244-245 |
Логарифмический ряд |
||
|
246 |
Представление показательной функции в виде предела |
||
|
247 |
Биномиальный ряд |
||
|
Разные примеры |
|||
|
Приложение I. Неравенства Гельдера и Минковского |
|||
|
Приложение II. Доказательство того, что каждое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень |
|||
|
Приложение III. Замечание о двойных предельных переходах |
|||
|
Приложение IV. Бесконечное в анализе и в геометрии |
|||
О том, как читать книги в форматах pdf, djvu - см. раздел "Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др."
.
|
|
||
|
||