Экзаменационные билеты по геометрии 11 класс.

ПРИМЕРНЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ БИЛЕТЫ

ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ В ТРАДИЦИОННОЙ ФОРМЕ УСТНОЙ

ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ВЫПУСКНИКОВ XI(XII) КЛАССОВ

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ

В 2004/05 УЧЕБНОМ ГОДУ

Объяснительная записка

Согласно Закону Российской Федерации «Об образовании» в редакции, введенной в действие с 15 января 1996 года Федеральным законом от 13 января 1996 года № 12ФЗ с изменениями на 22 августа 2004 года, освоение программ среднего (полного) общего образования завершается обязательной итоговой аттестацией. Итоговая аттестация выпускников XI(XII) классов общеобразовательных учреждений проводится в форме устных и письменных экзаменов.

Форма проведения устной аттестации по всем предметам может быть различной: по билетам, собеседование, защита реферата, комплексный анализ текста (по русскому языку).

В первом случае выпускник отвечает на вопросы, сформулированные в билетах, выполняет предложенные практические задания (решение задачи, лабораторная работа, демонстрация опыта и др.).

Выпускник, избравший собеседование как одну из форм устного экзамена, по предложению аттестационной комиссии дает без подготовки развернутый ответ по одной из ключевых тем курса или отвечает на вопросы обобщающего характера по темам, изученным в соответствии с учебной программой. Собеседование целесообразно проводить с выпускниками, имеющими отличные знания по предмету, проявившими интерес к научным исследованиям в избранной области знаний.

Защита реферата предполагает предварительный выбор выпускником интересующей его темы работы с учетом рекомендаций учителя-предметника, последующее глубокое изучение избранной для реферата проблемы, изложение выводов по теме реферата. Не позднее чем за неделю до экзамена реферат представляется выпускником на рецензию учителю-предметнику. Аттестационная комиссия на экзамене знакомится с рецензией на представленную работу и выставляет оценку выпускнику после защиты реферата.

Выпускник, избравший комплексный анализ текста как одну из форм устного экзамена по русскому языку, характеризует тип, стиль подобранного учителем текста, определяет его тему, главную мысль, комментирует имеющиеся в нем орфограммы и пунктограммы.

Выпускник XI (XII) класса для итоговой устной аттестации может выбрать любые предметы, изучавшиеся на ступени среднего (полного) общего образования.

На итоговой аттестации по всем учебным предметам проверяются соответствие знаний выпускников требованиям государственных образовательных программ, глубина и прочность полученных знаний, их практическое применение.

Общеобразовательное учреждение имеет право в предложенный материал внести изменения, дополнения, содержащие региональный компонент, учитывающие профиль школы, а также разработать собственные экзаменационные билеты. При корректировке примерных билетов по истории России и обществознанию желательно внести вопросы, связанные с российской государственной символикой (герб, флаг, гимн).

Порядок экспертизы, утверждения и хранения аттестационного материала устанавливается уполномоченным органом местного самоуправления.

При подготовке к устной итоговой аттестации выпускников рекомендуется учесть особенности изучения различных учебных предметов.

Начальник Управления государственного надзора

по соблюдению законодательства Российской Федерации

в сфере образования В.И. ГРИБАНОВ

Вестник образования № 5–6     10.Март, 2005

Примечание: В этот список входят билеты по следующим 20-ти предметам:

ГЕОМЕТРИЯ – XI класс

Экзаменационные билеты по геометрии предназначены для проведения устной итоговой аттестации выпускников XI(XII) классов общеобразовательных школ по курсу «А», общеобразовательному курсу и курсу «В».

В каждый билет для курса «А»

рекомендуется включить три вопроса

При ответе на первый вопрос учащийся должен либо воспроизвести некоторый теоретический факт, либо описать свойства одного из геометрических тел, либо воспроизвести формулу и проиллюстрировать на примерах.

Второй и третий вопросы билета, направленные на проверку степени овладения учащимися основными умениями, представляют собой задачи, уровень сложности которых определяется программой как обязательный.

В каждом билете должен быть представлен материал, относящийся к разным классам и разным геометрическим телам.

Образец экзаменационного билета

1. Теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда (формулировка и пример).

2. Радиус основания цилиндра равен 5 см, а его образующая – 9 см. Найдите площадь осевого сечения.

3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а высота – 12 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

В каждый билет для общеобразовательного курса

и курса «В» рекомендуется включить четыре вопроса

При ответе на первый вопрос учащийся должен либо воспроизвести некоторый теоретический факт, либо описать свойства одного из геометрических тел, либо воспроизвести формулу или алгоритм построения и проиллюстрировать на примерах.

Второй вопрос отражает основной теоретический материал курса. При ответе на него учащийся должен доказать сформулированные свойства или признаки геометрических фигур.

Третий вопрос билета представляет собой задачу, уровень сложности которой определяется как обязательный.

Четвертый вопрос билета также является задачей, уровень сложности которой определяется как повышенный (список основных типов задач повышенного уровня приводится ниже).

Учащимся предоставляется возможность выбрать для решения одну из двух предложенных задач.

В каждом билете должен быть представлен материал, относящийся к разным классам и разным геометрическим телам.

Образец экзаменационного билета

1. Формула объема прямоугольного параллелепипеда (формула и пример).

2. Теорема о трех перпендикулярах.

3. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°, а его высота равна 12 см. Найдите площадь его боковой поверхности.

4. Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми равен j. Найдите угол наклона этой плоскости к основанию призмы.

Курс «А»

Билет № 1

1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве (формулировки и примеры).

2. Задача по теме «Объемы тел вращения» (типа № 26).

3. Задача по теме «Призма» (типа № 5).

Билет № 2

1. Взаимное расположение двух плоскостей (формулировки и примеры).

2. Задача по теме «Поверхности тел вращения» (типа № 18).

3. Задача по теме «Прямоугольный параллелепипед» (типа № 8, 9).

Билет № 3

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве (формулировки и примеры).

2. Задача по теме «Объемы тел вращения» (типа № 22).

3. Задача по теме «Пирамида» (типа № 11, 12).

Билет № 4

1. Призма. Боковая поверхность прямой призмы. Прямая и правильная призмы (формулировки и примеры).

2. Задача по теме «Шар» (типа № 24).

3. Задача по теме «Объем пирамиды» (типа № 15, 16).

Билет № 5

1. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед. Свойство противолежащих граней параллелепипеда. Теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда (формулировки и примеры).

2. Задача по теме «Цилиндр» (типа № 17).

3. Задача по теме «Площадь полной поверхности пирамиды» (типа № 13).

Билет № 6

1. Пирамида. Правильная пирамида. Боковая поверхность правильной пирамиды (формулировки и примеры).

2. Задача по теме «Конус» (типа № 21).

3. Задача по теме «Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда» (типа № 10).

Билет № 7

1. Цилиндр. Сечения цилиндра плоскостями. Площадь боковой поверхности цилиндра (формулировки и примеры).

2. Задача по теме «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве» (типа № 1).

3. Задача по теме «Площадь сферы» (типа № 25).

Билет № 8

1. Конус. Сечения конуса плоскостями. Площадь боковой поверхности конуса (формулировки и примеры).

2. Задача по теме «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве» (типа № 2).

3. Задача по теме «Площадь поверхности цилиндра» (типа № 19).

Билет № 9

1. Сфера и шар. Сечения шара плоскостями. Площадь сферы (формулировки и примеры).

2. Задача по теме «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве» (типа № 4).

3. Задача по теме «Пирамида» (типа № 14).

Билет № 10

1. Формулы объема многогранников: прямоугольного параллелепипеда, наклонного параллелепипеда, призмы и пирамиды (формулы и примеры).

2. Задача по теме «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве» (типа № 3).

3. Задача по теме «Площади поверхностей тел вращения» (типа № 23).

Билет № 11

1. Формулы объемов тел вращения: цилиндра, конуса и шара (формулы и примеры).

2. Задача по теме «Сечения многогранников» (типа № 6, 7).

3. Задача по теме «Площади поверхностей тел вращения» (типа № 20).

Примеры задач

для вторых и третьих вопросов билетов

1. Прямая n параллельна прямой m, прямая m параллельна плоскости α. Следует ли из этого, что прямая n параллельна плоскости α?

2. Каждая из плоскостей α и β параллельна плоскости γ. Могут ли плоскости α и β пересекаться?

3. Каждая из плоскостей α и β параллельна прямой m. Могут ли плоскости α и β пересекаться?

4. Плоскость γ пересекает плоскости α и β по параллельным прямым. Могут ли плоскости α и β пересекаться?

5. В правильной треугольной призме ABCА₁В₁С₁ проведено сечение через вершину С₁ и ребро AB. Найдите периметр сечения, если сторона основания равна 24 см, а боковое ребро – 10 см.

6. Высота прямой призмы равна 10 см, а ее основанием является прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см. Найдите площадь диагонального сечения.

7. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы, у которой сторона основания равна 10 см и высота 12 см, разбивает ее на две треугольные призмы. Найдите площади боковых поверхностей треугольных призм.

8. Длины ребер прямоугольного параллелепипеда равны 6 см, 8 см и 24 см. Найдите длины его диагоналей.

9. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 5 см и 12 см, а диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите высоту параллелепипеда.

10. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали которого равны 12 см и 16 см. Высота параллелепипеда – 8 см. Найдите площадь его полной поверхности.

11. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см, а апофема – 15 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

12. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а апофема – 15 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

13. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а высота – 12 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

14. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 см, а один из катетов – 9 см. Найдите площадь сечения, проведенного через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию.

15. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 7 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды.

16. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 4 см, а сторона основания – 6 см. Найдите объем пирамиды.

17. Радиус основания цилиндра равен 5 см, а его образующая – 9 см. Найдите площадь осевого сечения.

18. Прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 4 см, вращается около меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения.

19. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 3√2 см. Найдите площадь поверхности цилиндра.

20. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°, а его высота равна 12 см. Найдите площадь его боковой поверхности.

21. Радиус основания конуса равен 14 см. Найдите площадь сечения, проведенного перпендикулярно его оси через ее середину.

22. Образующая конуса равна 25 см, а радиус основания – 7 см. Найдите его объем.

23. Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 17 см, а один из катетов – 8 см, вращается около этого катета. Найдите площадь поверхности тела вращения.

24. Найдите площадь сечения шара радиуса 41 см, проведенного на расстоянии 9 см от центра.

25. Сферу на расстоянии 8 см от центра пересекает плоскость. Радиус сечения равен 15 см. Найдите площадь сферы.

26. Шар с центром в точке О касается плоскости в точке А. Точка В лежит в плоскости касания. Найдите объем шара, если AB = 21 см, BO = = 29 см.

Общеобразовательный курс

и курс «В»

Билет № 1

1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве (формулировки и примеры).

2. Касательная плоскость к шару.

3. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см, а апофема – 15 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

4. Ребро куба равно a. Найдите расстояние от вершины куба до его диагонали, соединяющей две другие вершины.

Билет № 2

1. Взаимное расположение двух плоскостей (формулировки и примеры).

2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 17 см, а один из катетов – 8 см, вращается около этого катета. Найдите площадь поверхности тела вращения.

4. Найдите боковую поверхность пирамиды, если площадь основания равна S, а двугранные углы при основании равны α.

Билет № 3

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве (формулировки и примеры).

2. Объем цилиндра.

3. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 4 см, а сторона основания – 6 см. Найдите объем пирамиды.

4. Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

Билет № 4

1. Свойства параллельных плоскостей (формулировки и примеры).

2. Теорема о боковой поверхности прямой призмы.

3. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°, а его высота равна 12 см. Найдите площадь его боковой поверхности.

4. Через основание трапеции проведена плоскость, отстоящая от другого основания на расстоянии a. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до этой плоскости, если основания трапеции относятся как m: n.

Билет № 5

1. Перпендикуляр и наклонная к плоскости (формулировки и примеры).

2. Свойство противолежащих граней параллелепипеда.

3. Найдите площадь сечения шара радиуса 41 см, проведенного на расстоянии 9 см от центра.

4. Через концы отрезка AB, пересекающего плоскость α, и его середину M проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках A₁, B₁ и M₁. Найдите длину отрезка MM₁, если AA₁ = a,  а BB₁ = b.

Билет № 6

1. Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировка и пример).

2. Площадь боковой поверхности конуса.

3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 см, а один из катетов – 9 см. Найдите площадь сечения, проведенного через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию.

4. Плоскости α и β пересекаются по прямой a и перпендикулярны плоскости γ. Докажите, что прямая a перпендикулярна плоскости γ.

Билет № 7

1. Угол между скрещивающимися прямыми (формулировка и пример).

2. Объем призмы.

3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а высота – 12 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

4. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

Билет № 8

1. Угол между прямой и плоскостью (формулировка и пример).

2. Объем пирамиды.

3. Высота прямой призмы равна 10 см, а ее основанием является прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см. Найдите площадь диагонального сечения.

4. Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми поверхностями. Докажите, что его сечение плоскостью, проходящей через центр, равновелико сечению, касательному к внутренней шаровой поверхности.

Билет № 9

1. Угол между плоскостями (формулировка и пример).

2. Площадь сферы.

3. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 7 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды.

4. Докажите, что площадь поверхности куба равна 2d², где d – диагональ куба.

Билет № 10

1. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла (формулировки и примеры).

2. Теорема о боковой поверхности правильной пирамиды.

3. Прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 4 см, вращается около меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения.

4. Докажите, что если данная прямая параллельна двум пересекающимся плоскостям, то она параллельна линии их пересечения.

Билет № 11

1. Трехгранный и многогранный углы (формулировки и примеры).

2. Площадь боковой поверхности цилиндра.

3. Основание четырехугольной призмы – квадрат со стороной 10 см. Высота призмы 12 см. Диагональное сечение разбивает данную призму на две треугольные призмы. Найдите площади боковых поверхностей треугольных призм.

4. В правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Билет № 12

1. Призма (формулировки и примеры).

2. Признак перпендикулярности плоскостей.

3. Радиус основания конуса равен 14 см. Найдите площадь сечения, проведенного перпендикулярно его оси через ее середину.

4. В цилиндр наклонно вписан квадрат так, что все его вершины лежат на окружностях основания. Найдите сторону квадрата, если высота цилиндра равна 2 см, а радиус основания равен 7 см.

Билет № 13

1. Прямая и правильная призмы (формулировки и примеры).

2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости (доказательство одного из них).

3. Шар с центром в точке O касается плоскости в точке A. Точка B лежит в плоскости касания. Найдите объем шара, если AB = 21 см, а BO = = 29 см.

4. Определите, на каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания, если высота конуса равна h.

Билет № 14

1. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед (формулировки и примеры).

2. Признак параллельности плоскостей.

3. Сферу на расстоянии 8 см от центра пересекает плоскость. Радиус сечения равен 15 см. Найдите площадь сферы.

4. Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми равен .. Найдите угол наклона этой плоскости к основанию призмы.

Билет № 15

1. Пирамида (формулировки и примеры).

2. Объем конуса.

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ проведено сечение через вершину C₁ и ребро AB. Найдите периметр сечения, если сторона основания равна 24 см, а боковое ребро – 10 см.

4. Докажите, что если точка x равноудалена от концов данного отрезка AB, то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной прямой AB.

Билет № 16

1. Правильная пирамида (формулировки и примеры).

2. Свойства изображения пространственных тел на плоскости.

3. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 3√2 см. Найдите площадь поверхности цилиндра.

4. Плоскость, параллельная основанию конуса, делит его боковую поверхность на две части, площади которых равны. В каком отношении, считая от вершины, эта плоскость делит высоту конуса?

Билет № 17

1. Цилиндр (формулировки и примеры).

2. Признак параллельности прямой и плоскости.

3. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали которого равны 12 см и 16 см. Высота параллелепипеда – 8 см. Найдите площадь его полной поверхности.

4. Найдите боковую поверхность правильной четырехугольной пирамиды, диагональное сечение которой равновелико основанию, если сторона основания равна a.

Билет № 18

1. Конус (формулировки и примеры).

2. Признак параллельности прямых.

3. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 5 см и 12 см, а диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите высоту параллелепипеда.

4. Площадь боковой поверхности цилиндра равна Q. Найдите площадь осевого сечения.

Билет № 19

1. Сфера и шар (формулировки и примеры).

2. Теорема о трех перпендикулярах.

3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а апофема – 15 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

4. Дан прямоугольный параллелепипед. Угол между диагональю основания и одной из его сторон равен α. Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если диагональ основания равна k.

Школа (классы) с углубленным

изучением предмета

Настоящие экзаменационные билеты составлены на основе программы по геометрии для школ (классов) с углубленным изучением предмета, а значит – не «привязаны» ни к какому конкретному учебнику. Тематическим планированием учебного материала, отраженного в заданиях билетов, предусмотрено не менее трех часов в неделю на изучение предмета в Х и XI классах.

Билет включает в себя три вопроса, относящихся к разным темам курса: первый и второй вопросы носят теоретический характер, в третьем – экзаменующемуся предлагается две задачи.

Учитывая тот факт, что в школах (классах) с углубленным изучением геометрии на сегодняшний день существует различный уровень требований к учащимся, и, следовательно, уровень их подготовленности также различен, преподавателю предоставляется возможность самому определять, что ученик должен дать с доказательством или выводом, а что без него. Для получения высшей оценки необходимо доказать не менее двух теорем и решить одну задачу.

При составлении билетов учитель может воспользоваться своими задачами или задачами из сборника задач для проведения экзамена по геометрии («Геометрия: Сб. задач для проведения экзамена в 9 и 11 классах». Д.И. Аверьянов, Л.И. Звавич, Б.П. Пигарев, А.Р. Рязановский. – М., Просвещение, 2005).

Билет № 1

1. Параллельность прямых в пространстве. Теорема о двух прямых, параллельных третьей.

2. Расстояние в пространстве. Геометрические места точек, равноудаленных от двух точек, трех точек, двух плоскостей.

3. Задача по теме «Векторы в пространстве; скалярное произведение»:

Билет № 2

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости.

2. Трехгранные и многогранные углы.

3. Задача по теме «Комбинации многогранников и тел вращения»:

а) шар касается всех ребер пирамиды MNKP. Докажите, что MN + KP = MK + NP = MP + KN;

б) около шара описана правильная треугольная призма, а около призмы описан шар. Найдите отношение площадей поверхностей этих шар

Билет № 3

1. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Задание сферы и шара в пространстве с помощью координат.

3. Задача по теме «Сечения многогранников»:

а) в правильной треугольной пирамиде, сторона основания которой равна a, а боковое ребро – 3a, проведено сечение параллельно боковому ребру. Найдите площадь этого сечения, если оно является ромбом;

б) постройте сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁, проходящее через точку пересечения диагоналей грани ABCD, параллельно прямым AB₁ и BK (K – середина CC₁). Найдите площадь сечения, если ребро куба равно a.

Билет № 4

1. Связь между параллельностью прямых и перпендикулярностью прямой и плоскости. Теорема о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости.

2. Площадь боковой и полной поверхности призмы и цилиндра.

3. Задача по теме «Координаты в пространстве; уравнения плоскости и сферы»:

а) найдите расстояние между плоскостью 2x – 2y – z + 3 = 0 и точкой A(0; 2; 2) и угол между этой плоскостью и прямой OA, где O – начало координат;

б) на плоскости x + 2y + 3z = 25 найдите точку, удаленную на наименьшее расстояние от точки A(2; –3; 5).

Билет № 5

1. Взаимное расположение двух плоскостей. Признаки параллельности двух плоскостей.

2. Прямая в координатах в пространстве.

3. Задача по теме «Вписанный шар, описанная сфера»:

а) в треугольной пирамиде ABCD известно, что AC = 4, BC = 3, угол ABC = 90°. Ребро AD длиной 12 перпендикулярно плоскости ABC. Найдите радиус описанной около пирамиды сферы;

б) найдите боковое ребро правильной усеченной четырехугольной пирамиды со сторонами оснований a и b, если в пирамиду можно вписать шар.

Билет № 6

1. Свойства параллельных плоскостей. Теорема о единственности плоскости, проходящей через данную точку, параллельно другой плоскости.

2. Площадь боковой и полной поверхности пирамиды и конуса, в том числе усеченных.

3. Задача по теме «Комбинации многогранников»:

а) найдите отношение объемов параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ и треугольной пирамиды BDC₁A₁;

б) центры тяжести граней треугольной пирамиды являются вершинами многогранника. Найдите отношение объемов пирамиды и многогранника.

Билет № 7

1. Перпендикулярность двух плоскостей. Признак перпендикулярности двух плоскостей.

2. Площадь ортогональной проекции многоугольника.

3. Задача по теме «Площадь поверхности сферы, объем шара»:

а) в правильной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AB равно a, угол между AB₁ и DB равен a. Найдите площадь поверхности шара, проходящего через точки B, B₁, C₁ и A₁;

б) в полушар вписан цилиндр наибольшего объема. Найдите отношение объема этого цилиндра к объему полушара.

Билет № 8

1. Свойства перпендикулярных плоскостей. Теорема о линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей плоскости.

2. Параллельный перенос и его свойства.

3. Задача по теме «Шар»:

а) в куб ABCDA₁B₁C₁D₁ вписан шар радиуса R. Найдите площадь сечения шара плоскостью AD₁C;

б) вершина A куба ABCDA₁B₁C₁D₁ является центром сферы, а вершина D₁ лежит на этой сфере. Найдите длину линий пересечения сферы и поверхности куба, если ребро куба равно a. Сделайте чертеж.

Билет № 9

1. Перпендикуляр и наклонная. Теоремы о трех перпендикулярах (2).

2. Правильные многогранники. Формула Эйлера (без вывода).

3. Задача по теме «Объем конуса, усеченного конуса»:

а) высоту конуса разделили на 5 равных частей и провели через каждую точку деления плоскость, параллельную основанию. Объем части, заключенной между вторым и третьим сечениями, равен V. Найдите объем конуса;

б) образующая усеченного конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°, а центр большего основания равноудален от меньшего основания и боковой поверхности конуса. Найдите объем усеченного конуса, если площадь его боковой поверхности 2p.

Билет № 10

1. Углы между двумя прямыми в пространстве. Теорема об углах с сонаправленными сторонами.

2. Теорема Гюльдена. Площадь поверхности сферы (с доказательством). Площадь сферической поверхности сферического сегмента (без доказательства).

3. Задача по теме «Объем призмы»:

а) объем треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равен V, а длина бокового ребра равна a. На прямой AA₁ выбирают отрезок MN длины b. Найдите объем пятигранника MNB₁BCC₁ (ребра MN, C₁C, B₁B, B₁C₁, BC, MB₁, MC₁, NB, NC);

б) все ребра треугольной призмы касаются шара радиуса R. Найдите объем призмы.

Билет № 11

1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признаки скрещивающихся прямых.

2. Векторы в пространстве. Действия над векторами (кроме скалярного произведения). Координаты векторов.

3. Задача по теме «Цилиндр, конус»:

а) даны две параллельные плоскости, расстояние между которыми равно х. Между ними расположен конус с образующей 25 см и радиусом основания 7 см так, что на каждой плоскости есть хотя бы одна точка конуса, а вне плоскостей таких точек нет. Найдите все возможные значения х;

б) через точку M, лежащую в плоскости основания цилиндра с радиусом основания 3 и высотой 3 и удаленную от оси цилиндра на расстояние 7, проводят всевозможные прямые, имеющие с цилиндром единственную общую точку. Какие значения может принимать длина отрезка такой прямой от точки M до общей точки прямой и цилиндра?

Билет № 12

1. Расстояние между двумя точками в координатах. Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении.

2. Описанная около многогранника сфера. Расположение ее центра (на примере сферы, описанной около призмы).

3. Задача по теме «Призма, параллелепипед, куб»:

а) диагонали AB₁ и DC₁ граней четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ параллельны. Докажите, что прямые AD₁ и BC₁ также параллельны;

б) дан куб с ребром a. Второй куб получен поворотом первого на угол α (0 < α < 90°) вокруг ребра. Определите объем общей части этих кубов.

Билет № 13

1. Скалярное произведение векторов и его свойства.

2. Построения в пространстве. Построение плоскости, перпендикулярной прямой и перпендикулярной плоскости, проходящей через данную точку.

3. Задача по теме «Объем пирамиды»:

а) высоту пирамиды разделили в отношении 3 : 7, считая от вершины, и провели сечение, параллельное основанию. В каком отношении разделится объем пирамиды?

б) в основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 7, 15 и 20. Боковые ребра пирамиды имеют равную длину, а центр описанного около пирамиды шара удален от плоскости основания на расстояние     .    Найдите объем пирамиды.

Билет № 14

1. Взаимное расположение сферы и плоскости в пространстве. Теорема о сечении сферы плоскостью.

2. Параллельное проектирование и его свойства. Изображение фигур на плоскости (треугольник, параллелограмм, трапеция, тетраэдр, параллелепипед).

3. Задача по теме «Боковая, полная поверхность пирамиды»:

а) найдите двугранный угол при ребре основания правильной четырехугольной пирамиды, если плоскость, проведенная через сторону основания, делит этот угол и боковую поверхность пирамиды пополам;

б) в основании пирамиды объемом 4,8 лежит треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если ее высота составляет равные углы с боковыми гранями, а основание высоты внутри основания пирамиды.

Билет № 15

1. Сечение пирамиды плоскостями, параллельными основанию. Теорема об отношении периметров и площадей сечений пирамиды плоскостями, параллельными основанию.

2. Поворот вокруг прямой в пространстве и его свойства. Фигуры вращения.

3. Задача по теме «Угол между двумя плоскостями, двугранный угол»:

а) основание пирамиды – правильный шестиугольник. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно к плоскости ее основания и равно стороне шестиугольника. Найдите двугранные углы при ребрах основания пирамиды, углы наклона боковых ребер пирамиды к плоскости ее основания;

б) боковое ребро правильной треугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол α ( α < 45°). Найдите угол наклона плоскости, проходящей через сторону основания и центр шара, описанного около пирамиды, к плоскости основания пирамиды.

Билет № 16

1. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам. Векторный базис в пространстве.

2. Пирамида. Виды пирамид. Усеченная пирамида.

3. Задача по теме «Прямые и плоскости в пространстве: угол между прямой и плоскостью»:

а) для правильного тетраэдра ABCD с ребром a определите расстояние от точки K – середины ребра AC – до плоскости BCD и угол между прямой KB и этой плоскостью;

б) все ребра наклонной призмы ABCA₁B₁C₁, в основании которой лежит правильный треугольник, равны a. Точка A₁ равноудалена от A, B и C. Найдите расстояние от вершины A₁ до плоскости BCC₁ и угол, который составляет с этой плоскостью прямая A₁C.

Билет № 17

1. Задание пространственных фигур уравнениями и неравенствами. Уравнение плоскости.

2. Центральная симметрия в пространстве и ее свойства. Примеры центрально-симметричных пространственных фигур.

3. Задача по теме «Пирамида»:

а) в правильном тетраэдре ABCD точки K и L – середины ребер AD и BC соответственно. Найдите угол между KL и высотой СС₁ треугольника ABC;

б) объем пирамиды ABCD равен V. Найдите объем пирамиды KNBP, если B – середина AP, K лежит на ребре AD и AK : KD = 3,  N – точка пересечения медиан грани BCD.

Билет № 18

1. Вывод формулы расстояния от точки до плоскости в координатах.

2. Призма. Виды призм.

3. Задача по теме «Прямые и плоскости в пространстве: угол и расстояние между прямыми»:

а) два прямоугольных неравных друг другу треугольника ABD и CBD имеют по острому углу α, общий катет BD = a и общую вершину прямого угла D. Найдите угол и расстояние между прямыми AB и CD, если плоскости ABD и CBD взаимно перпендикулярны;

б) найдите расстояния и углы между диагональю AC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ и скрещивающимися с ней диагоналями граней этого куба, если ребро куба равно 1.

Билет № 19

1. Вычисление объемов фигур вращения (с помощью интеграла). Вывод формулы для вычисления объемов конуса, шара.

2. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Теорема о равенстве всех линейных углов данного двугранного угла.

3. Задача по теме «Прямые и плоскости в пространстве: расстояние между точками и от точки до прямой»:

а) K – середина стороны AD квадрата ABCD со стороной a. Квадрат перегнули по прямой KC так, что образовался двугранный угол 60°. Найдите расстояние между точками B и D;

б) внутри двугранного угла величины α ( α < 90°) взята точка M, удаленная от граней двугранного угла на a и b соответственно. Найдите расстояние от M до ребра двугранного угла.

Билет № 20

1. Вывод формулы для вычисления объема пирамиды.

2. Симметрия относительно плоскости. Ее свойства.

3. Задача по теме «Прямые и плоскости в пространстве: расстояние от точки до плоскости»:

а) квадрат ACMD и правильный треугольник ABC расположены так, что двугранный угол М(АС)В =120°, AC = a. Найдите расстояние от точки B до плоскости квадрата и от точки M до плоскости треугольника;

б) дана правильная шестиугольная пирамида SABCDME (S – вершина). Найдите расстояние от плоскости SAB до каждой, не лежащей на ней, вершины пирамиды, если точка пересечения медиан грани SDM удалена от плоскости SAB на 8 см.